Нет, правовых оснований требовать чек или штраф по неподписанному договору у заказчика нет. Договор без вашей подписи не заключен, а значит, штраф за невыдачу чека не работает. ФНС может оштрафовать вас за невыдачу чека на фактически полученные 10 000 руб. (ст. 14.5 КоАП РФ), но если вы их не отразили в приложении «Мой налог» и не выдали чек. Чтобы избежать штрафа, сформируйте чек на эту сумму как на аванс или иной доход — НПД позволяет это сделать, даже если нет договора. Возвращать деньги на счёт заказчика не нужно, пока не будет подписан акт о возврате или соглашение. Простой возврат без документов могут расценить как подтверждение отношений. Оформите возврат письменным соглашением, где укажете, что средства перечислены ошибочно. Признать первый договор трудовыми отношениями можно — там есть признаки ст. 15 ТК РФ. Если заказчик предъявит подделку подписи, подавайте заявление в полицию по ст. 327 УК РФ и ходатайствуйте о почерковедческой экспертизе. В ФНС проактивно обращаться не советую, только если начнут проверку — тогда поясняйте, что договора не было, чек выбили. В полицию заявление о мошенничестве или подделке имеет смысл, но только когда будет уверенность, что подпись точно не ваша. Оптимальная стратегия: не подписывать ничего, вернуть 10 000 руб. по соглашению с формулировкой «ошибочный платёж», выбить чек на эту сумму, а на требования штрафа отвечать отказом.

Уточняющий вопрос: вы точно не получали на подпись второй договор и не обменивались сканами по электронной почте, где могла быть проставлена «галочка» о согласии?