Добрый день. Не отчаивайтесь, это типичная бюрократическая коллизия, и выход есть. Ваш сын попал в замкнутый круг, но закон позволяет его разорвать.

Для начала уточните несколько важных моментов, без которых сложно дать точный алгоритм:
1. Был ли сын снят с воинского учёта при выезде из РФ в 16 лет? Если да, то он сейчас вообще не числится в военкомате.
2. Имеет ли он на руках военный билет (мог получить при достижении 18 лет в Грузии через консульство, но это маловероятно) или приписное свидетельство?
3. Когда именно он переехал в Россию и сколько времени прошло с момента въезда?

При условии, что он никогда не вставал на учёт в РФ и не имеет военного билета, алгоритм такой: идите в отдел по вопросам миграции (ОВМ) МВД, где сдан паспорт. Там обязаны выдать справку или временное удостоверение личности (по форме № 2П), так как паспорт гражданина РФ является основным, но не единственным документом. Затем с этой справкой — в военкомат по адресу фактического проживания. Пишете заявление о постановке на воинский учёт, прикладываете справку и любые другие документы (загранпаспорт, водительское удостоверение). Военкомат выдаст справку о постановке на учёт (или временное удостоверение). С ней возвращаетесь в ОВМ и получаете готовый паспорт. После получения паспорта уже регистрируетесь по месту жительства.

Если военкомат откажет без паспорта — требуйте письменный отказ и обжалуйте его вышестоящему военкому или в прокуратуру. Но на практике проблема решается именно через временные документы. Ситуация неприятная, но не тупиковая.