Требование абсурдное и незаконное. Ваш экземпляр договора — ваше доказательство факта аренды и условий, включая оплату последнего месяца. Отдавать его собственнику не нужно ни на каком основании. Скорее всего, он хочет уничтожить доказательства, чтобы потом сказать, что вы не платили последний месяц, либо чтобы не возвращать залог, если он был. Храните договор у себя. Если начнет угрожать, напомните, что за вымогательство и самоуправство есть статьи. Езжайте спокойно, свой экземпляр не отдавайте.