Здравствуйте. Ситуация у вас непростая, но решаемая. Реабилитационный центр, скорее всего, не имеет права выдавать больничные листы, потому что это не медицинская организация с лицензией на экспертизу временной нетрудоспособности. Однако это не значит, что вы не можете получить оплачиваемый больничный по уходу за ребёнком.

Ваш больничный должен оформить врач, наблюдающий ребёнка по месту жительства (педиатр), либо врач, давший направление на реабилитацию. Для этого вам нужно взять в центре справку о том, что ребёнок находится на реабилитации и нуждается в постоянном уходе (центр обязан её выдать по вашему требованию). С этой справкой идите в поликлинику. Педиатр откроет больничный лист, если реабилитация назначена по медицинским показаниям (например, после болезни, травмы или для установления инвалидности).

Если в поликлинике отказывают, требуйте письменный отказ со ссылкой на нормативный акт. Затем жалуйтесь в Росздравнадзор и в прокуратуру. Не соглашайтесь на отгулы за свой счёт – это прямое нарушение вашего права на страховое обеспечение по временной нетрудоспособности. Действуйте через поликлинику, а не через центр.